ANALISI MATEMATICA 1 (Canale 2, Vicenza) Docente: Valentina Casarino
Programma del corso

Numeri
Insiemi, insiemi numerici, operazioni sugli insiemi. Elementi di logica. Quantificatori universale e esistenziale. Esistenza di numeri irrazionali.
Ordinamento in R. Valore assoluto d un numero reale. Definizione di insiemi superiormente e inferormente limitati. Definizione di massimo, minimo, estremo superiore ed estremo inferiore di sottoinsiemi di R. Proprietà caratteristica di sup e inf. Assioma di completezza.
Simbolo di sommatoria. Somma di una progressione geometrica. Disuguaglianza di Bernoulli. Definizione di fattoriale e coefficienti binomiali. Il binomio di Newton.

Funzioni

Definizione di funzione. Dominio, codominio, grafico. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Trasformazioni del piano (traslazioni e affinità) e grafici di funzioni. Immagine e controimmagine di un insieme.
Definizione di funzione composta. Dominio e codominio di funzioni composte.
Funzioni invertibili su tutto il dominio. Determinazione della funzione inversa e grafico. Funzioni localmente invertibili. Funzioni potenza e radice.
Funzioni limitate, monotone e simmetriche. Funzioni elementari. Polinomi, funzioni razionali, esponenziale e logaritmo, funzioni trigonometriche, inverse delle funzioni trigonometriche, funzioni iperboliche, parte intera e mantissa.

Successioni

Definizione di successione. Successioni convergenti, divergenti, indeterminate. Successioni monotone. Teorema sulle successioni monotone, con dimostrazione.
Algebra dei limiti (con dim.). Teorema di permanenza del segno (con dim.). Teorema di confronto (con dim.).
Teorema: La successione (1+1/n)^n converge (con dim.). Il numero e.
Ordine di infinito e infinitesimo per successioni.Successioni asintotiche (dimostrazione delle principali proprietà). Gerarchia degli infiniti (senza dim.). Criterio del confronto (senza dim.).

Limiti e continuità per funzioni

Definizione successionale di limite di funzione. Teorema di unicità del limite (con dim.). Limiti per eccesso e per difetto. Limiti laterali. Funzioni continue. Classificazione delle discontinuità. Definizione topologica di limite.
Algebra dei limiti di funzioni. Limiti di polinomi e funzioni razionali.
Teorema di confronto (con dim.). Limiti notevoli (con dim.). Teorema di permanenza del segno (senza dim.). Teorema di sostituzione (con dim.). Esempi.
Funzioni continue. Teorema sulla continuità della funzione composta (con dim.). Continuità delle funzioni trigonometriche (con dim.)
Asintoti: definizioni e procedura per calcolarli.
Definizione di f^g. Definizione di funzione potenza x^a, con a reale. Limiti legati al numero e di Nepero. Gerarchia degli infiniti (senza dim.). Stime asintotiche.
Il Teorema di Weierstrass (senza dim.).
Teorema di esistenza degli zeri (con dim.). Teorema dei valori intermedi (con dim.). L'insieme immagine di una funzione continua.
Teorema sulla continuità della funzione inversa (senza dim.). Teorema di monotonia (senza dim.)

Calcolo differenziale

Nozione di funzione derivabile in un punto. Interpretazione geometrica. Punti angolosi, cuspidi e flessi. Legame fra derivabilità e continuità.
Algebra delle derivate. Regole di calcolo (senza dim.): regola di Leibniz, derivata della funzione composta.
Derivata della funzione inversa (con dim.). Derivate delle funzioni elementari.
Teorema di Fermat (con dim.).Definizione di punto stazionario. Teorema di Rolle (con dim.). Teorema di Lagrange (con dim.). Test di monotonia (con dim.). Caratterizzazione delle funzioni costanti su intervalli (con dim.).
Teorema di de l'Hopital (senza dim.). Applicazione allo studio della derivabilità (con dim.).
Nozione di funzione convessa in un punto. Interpretazione geometrica. Punti di flesso. Legame fra convessità e derivata seconda.
Definizione di o piccolo. Formula di Taylor con resto di Peano (dim. fino a n=2). Sviluppi notevoli. Formula di Taylor con resto di Lagrange.
Sviluppi di funzioni composte. Operazioni con gli sviluppi (somme, prodotti, quozienti). Algebra degli o-piccolo.

Serie numeriche

Serie numeriche. Def. di serie convergenti, divergenti, indeterminate. Condizione necessaria. Serie geometrica, serie di Mengoli.
Serie numeriche a termini positivi. Criterio del confronto (con dim.). Serie armonica e serie armonica generalizzata. Criterio del confronto asintotico (senza dim.). Criterio della radice (con dim.). Criterio del rapporto (senza dim.).
Convergenza assoluta (con dim. del criterio). Criterio di Leibniz (senza dim.).

Calcolo integrale

Integrazione indefinita. Definizione di primitiva. Relazione tra primitive di una stessa funzione (con dim.). Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione.
Integrazione di funzioni razionali.
Costruzione dell'integrale di Cauchy-Riemann. Definizione di funzione integrabile secondo Cauchy-Riemann. Classi di funzioni integrabili. Principali proprietà dell'integrale definito. Teorema della media integrale (con dim.). Teorema fondamentale del calcolo integrale (con dim.). Corollario del Teorema fondamentale del calcolo integrale (con dim.).

Integrali impropri su intervalli limitati. Definizione. Criteri di convergenza: criterio del confronto (con dim.), criterio del confronto asintotico, criterio della convergenza assoluta.
Integrali impropri su intervalli illimitati. Definizione. Criteri di convergenza: criterio del confronto (con dim.), criterio del confronto asintotico, criterio della convergenza assoluta.

Funzioni in più variabili. Domini. Nozioni di topologia in R^n: punti interni, esterni, di frontiera. Insiemi limitati. Insiemi aperti, chiusi, compatti. Definizione di limiti e continuità per funzioni f:R^n --> R. Principali proprietà delle funzioni continue in più variabili.
Derivate parziali di funzioni in più variabili. Derivate direzionali: regola del gradiente e regole di calcolo. Definizione di differenziabilità. Teorema del differenziale totale (solo enunciato). Relazione fra continuità, derivabilità, esistenza delle derivate direzionali e differenziabilità per funzioni f:R^n --> R. Equazione del piano tangente al grafico di f:R^2-->R. Derivate parziali di ordine superiore. Teorema di Schwarz.