ANALISI MATEMATICA 1 (Canale 2, Vicenza) Docente: Valentina Casarino
Diario delle lezioni

Lezione 1 (Martedi' 11 Ottobre): Insiemi, insiemi numerici, operazioni sugli insiemi. Elementi di logica. Quantificatori universale e esistenziale. Intervalli di R. Ordinamento in R. Valore assoluto di un numero reale. Definizione di insiemi superiormente e inferormente limitati. Definizione di massimo, minimo, estremo superiore ed estremo inferiore di sottoinsiemi di R. Proprietà caratteristica di sup e inf. Esempi. Assioma di completezza.

Lezione 2 (Giovedi' 13 Ottobre): Simbolo di sommatoria. Somma di una progressione geometrica. Definizione di fattoriale e coefficienti binomiali. Il binomio di Newton.
Definizione di funzione fra insiemi. Dominio, codominio, grafico. Esempi.
Esercizi su estremo superiore ed estremo inferiore di sottoinsiemi di R, utilizzando la proprietà caratteristica.

Lezione 3 (Martedi' 18 Ottobre): Immagine e controimmagine di un insieme (con esercizi). Funzioni iniettive, suriettive, biiettive, monotone, limitate, periodiche.
Prop. Una funzione strettamente monotona è iniettiva (con dim.)
Definizione di prodotto di composizione.
Trasformazioni del piano (traslazioni e affinità) e grafici di funzioni.

Lezione 4 (Giovedi' 20 Ottobre): Funzioni invertibili. Determinazione della funzione inversa e del suo grafico.
Funzioni localmente invertibili. Funzioni potenza e radice (con esercizi).
Funzioni elementari. Polinomi, funzioni razionali, esponenziale e logaritmo, funzioni trigonometriche.

Lezione 5 (Martedi' 25 Ottobre): Funzione parte intera e mantissa. Definizione di successione. Successioni convergenti, divergenti, indeterminate. Verifiche di limite. Successioni monotone. Teorema sulle successioni monotone, con dimostrazione.

Lezione 6 (Giovedi' 27 Ottobre): Algebra dei limiti (con dim.). Teorema di permanenza del segno (con dim.). Teorema di confronto (con dim.). Vari esercizi.

Lezione 7 (Giovedi' 3 Novembre): Ordine di infinito e infinitesimo per successioni.Successioni asintotiche (dimostrazione delle principali proprietà).
Criterio del confronto (senza dim.). Applicazioni. Gerarchia degli infiniti.
Teorema: La successione (1+1/n)^n converge (con dim.). Il numero e. Esercizi.

Lezione 8 (Martedi' 8 Novembre): Definizione successionale di limite di funzione. Teorema di unicità del limite. Limiti per eccesso e per difetto. Limiti laterali. Funzioni continue. Classificazione delle discontinuità.
Definizione topologica di limite. Algebra dei limiti di funzioni (senza dim.). Limiti di polinomi e funzioni razionali.

Lezione 9 (Giovedi' 10 Novembre): Teorema di sostituzione (con dim.). Esempi. Teorema di confronto (con dim.). Limiti notevoli (con dim.). Teorema di permanenza del segno (senza dim.). Funzioni continue: teorema di permanenza del segno e proprietà algebriche (senza dim.).

Lezione 10 (Martedi' 15 Novembre): Continuità di polinomi, di funzioni razionali e di funzioni trigonometriche (con dim.) Continuità della funzione composta. Definizione di f^g. Definizione di funzione potenza x^a, con a reale. Limiti legati al numero e di Nepero. Gerarchia degli infiniti (senza dim.). Stime asintotiche.
Asintoti: definizioni e procedura per calcolarli.

Lezione 11 (Giovedi' 17 Novembre): Teorema di esistenza degli zeri (con dim.). Teorema dei valori intermedi (con dim.). L'insieme immagine di una funzione continua. Il Teorema di Weierstrass (senza dim.). Teorema sulla continuità della funzione inversa (senza dim.). Teorema di monotonia (senza dim.).

Lezione 12 (Martedi' 22 Novembre): Nozione di funzione derivabile in un punto. Interpretazione geometrica. Punti angolosi, cuspidi e flessi. Legame fra derivabilità e continuità. Algebra delle derivate. Regola di Leibniz (senza dim). Derivata della funzione composta (senza dim.) Derivata della funzione inversa (con dim.). Derivate delle funzioni elementari.

Lezione 13 (Giovedi' 24 Novembre): Definizione di estremo relativo. Teorema di Fermat (con dim.). Definizione di punto stazionario. Teorema di Rolle (con dim.). Teorema di Lagrange (con dim.). Caratterizzazione delle funzioni costanti su intervalli (con dim.).

Lezione 14 (Martedi' 29 Novembre): Test di monotonia (con dim.). Teorema di de l'Hopital (senza dim.). Applicazione allo studio della derivabilità (con dim.). Schema di uno studio di funzioni. Primi esempi.

Lezione 15 (Giovedi' 1 Dicembre): Definizione di o piccolo. Relazione con il concetto di equivalenza.
Formula di Taylor fino al secondo ordine (con dim.). Resto nella forma di Peano e di Lagrange. Sviluppi notevoli.
Studi di funzione.

Lezione 16 (Martedi' 6 Dicembre): Operazioni con gli sviluppi di Taylor. Algebra degli o piccolo. Studio locale di una funzione. Studio della natura di un punto critico. Ricerca dell'ordine di infinitesimo.

Lezione 17 (Martedi' 13 Dicembre): Serie numeriche convergenti, divergenti, indeterminate. Serie di Mengoli, serie telescopiche, serie geometrica. Condizione necessaria (con dim.). Serie a termini positivi: criterio del confronto (con dim.) e del confronto asintotico (senza dim.).

Lezione 18 (Giovedi' 15 Dicembre): Criterio della radice (con dim.). Criterio del rapporto (senza dim.).
Integrazione indefinita. Definizione di primitiva. Relazione tra primitive di una stessa funzione (con dim.). Integrazione per parti.

Lezione 19 (Martedi' 20 Dicembre): Integrazione per sostituzione. Integrazione di funzioni razionali.

Lezione 20 (Martedi' 10 Gennaio): Costruzione dell'integrale di Cauchy. Classi di funzioni integrabili. Teorema della media integrale (con dim.). Teorema fondamentale del calcolo integrale (con dim.). Corollario del Teorema fondamentale del calcolo integrale (con dim.).

Lezione 21 (Giovedi' 12 Gennaio): Integrali impropri su intervalli limitati. Definizione. Criteri di convergenza: criterio del confronto (con dim.), criterio del confronto asintotico, criterio della convergenza assoluta.
Integrali impropri su intervalli illimitati. Definizione. Criteri di convergenza: criterio del confronto (con dim.), criterio del confronto asintotico, criterio della convergenza assoluta.

Lezione 22 (Martedi' 17 Gennaio): Funzioni in più variabili. Domini. Nozioni di topologia in R^n: punti interni, esterni, di frontiera. Insiemi limitati. Insiemi aperti, chiusi, compatti. Definizione di limiti e continuità per funzioni f:R^n --> R. Principali proprietà delle funzioni continue in più variabili.

Lezione 23 (Giovedi' 19 Gennaio): Derivate parziali di funzioni in più variabili. Derivate direzionali. Definizione di differenziabilità. Teorema del differenziale totale (solo enunciato). Relazione fra continuità, derivabilità, esistenza delle derivate direzionali e differenziabilità per funzioni f:R^n --> R. Equazione del piano tangente al grafico di f:R^2-->R.

Lezione 24 (Martedi' 24 Gennaio): Derivate direzionali di funzioni in più variabili: regola del gradiente e regole di calcolo. Derivate di ordine superiore. Teorema di Schwarz. Esercizi di ricapitolazione.