Home Page di Paolo Ciatti
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- Corso di Fondamenti di Analisi Matematica 2
- per studenti in Ingegneria Civile e dell'ambiente e del territorio
- (Anno accademico 2010-11)
- Lezione 1:
Rette e piani in R^3 in forma parametrica o cartesiana. Prodotto vettore: definizione e principali proprietà.
- Lezione 2:
Quadriche: Sfere, Ellissoidi, Iperboloidi.
- Lezione 3:
Quadriche: Paraboloidi ellittici e iperbolici, Cilindri. Curve in R^3 regolari e regolari a tratti.
- Lezione 4:
Curve rettificabili. Rettificabilità di curve di classe C^1. Lunghezza di una curva. Curve in coordinate polari.
- Lezione 5:
Ascissa curvilinea. Versore tangente. Insiemi nel piano e in R^n.
Punti di accumulazione. Punti interni ed esterni. Insiemi aperti e
chiusi.
- Lezione 6:
Successioni di punti del piano e loro limiti. Limiti di funzioni. Restrizione di una funzione.
- Lezione 7:
Funzioni continue in un punto e in un insieme. La composizione di due funzioni continue è continua.
- Lezione 8:
Derivate parziali. Gradiente. Significato geometrico delle derivate parziali.
- Lezione 9:
Differenziabilità. Piani tangenti.
- Lezione 10:
Derivate direzionali. Le funzioni differenziabili sono continue e derivabili. Teorema del differenziale totale.
- Lezione 11:
Superfici parametriche regolari: versore normale e piano tangente. Coordinate sulla sfera, latitudine e longitudine.
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Regola della catena. Il gradiente di una funzione è ortogonale alle curve di livello.
- Lezione 12:
Derivate successive. Teorema di Schwarz. Massimi e minimi. Punti
critici. I punti di estremo di una funzione derivabile sono punti
critici.
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Punti di
sella. Punti di massimo, di minimo e di sella di una forma
quadratica.
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- Lezione 13:
Formula di Taylor di ordine 2 per funzioni di due variabili.
Classificazione dei punti critici di una funzione di due variabili e
test della matrice hessiana.
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- Lezione 14:
Massimi e minimi su domini chiusi. Teorema di Weierstrass. Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
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- Lezione 15:
Il teorema della funzione implicita in due variabili. Regolarità degli insiemi di livello.
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- Lezione 16:
Il teorema della funzione implicita in tre variabili (senza la dimostrazione).
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- Lezione 17:
Continuità e derivabilità degli un integrali dipendenti da un parametro.
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- Lezione 18:
Definizione e convergenza delle somme di Riemann di una funzione
di due variabili. Funzioni integrabili. Integrali iterati e formule di riduzione su di un rettangolo.
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- Lezione 19:
Cambiamento di variabile negli integrali doppi. Cambiamenti di variabile lineari e in coordinate polari.
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- Lezione 20:
Area del grafico di una funzione di due variabili. Area di una superficie parametrica.
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- Lezione 21:
Integrali tripli. Regioni semplici nello spazio. Integrazione per fili e per strati.
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- Lezione 22:
Cambiamento di variabili negli integrali tripli. Coordinate
polari cilindriche e coordinate polari sferiche. Integrale su R di una
gaussiana.
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- Lezione 23:
Integrali curvilinei di funzioni e forme differenziali.
Indipendenza dell'integrale dalla parametrizzazione della curva.
Primitive. Forme differenziali esatte e chiuse.
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- Lezione 24:
L'integrale di una forma differenziale esatta lungo una curva
dipende solo dagli estremi della curva e viceversa. Una forma
differenziale è esatta se e solo se il suo integrale lungo ogni curva chiusa zero.
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- Lezione 25:
Insiemi semplicemente connessi nel piano. Una forma differenziale chiusa su un insieme semplicemente è connesso esatta. Le forme chiuse sono localmente esatte. Un esempio di forma differenziale chiusa non esatta.
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- Lezione 26:
Formule di Gauss-Green. Un esempio di una forma esatta su di un dominio che non è semplicemente connesso.
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- Lezione 27:
Superfici parametriche regolari fino al bordo e superfici parametriche orientabili. Integrale superficiale di una funzione. Flussi di campi vettoriali.
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- Lezione 28:
Rotore di un campo vettoriale. Teorema di Stokes.
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- Lezione 29:
Teorema della divergenza. Campi solenoidali.
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Testi consigliati:
Robert Adams, Calcolo differenziale 2, Funzioni di più variabili, Casa Editrice Ambrosiana, Milano, 2006.
Monica Conti - Davide L. Ferrario - Susanna Terracini - Gianmaria Verzini, Analisi matematica, Vol. 2, Apogeo - Collana: Idee e Strumenti, Milano, 2006.
Enrico Giusti, Analisi matematica vol. 2, Bollati Boringhieri, Torino, 2008.
Ricevimento studenti:
In studio, situato al terzo piano della Torre Archimede corridoio A-D,
il giovedì dalle 15.00 alle 18.00 oppure
su appuntamento
scrivendo a ciatti@dmsa.unipd.it.
Esami:
1a Sessione: 1° Appello: giovedì 10.02 ore 13.00 aule Lu3 Lu4 P300 (scritto).
2° Appello: lunedì 28.02 ore 15.00
aule Lu3 Lu4 P300 (scritto).
Sessione estiva di recupero: 1° Appello: venerdì 08.07 ore 15.00 aule Lu3 Lu4 P300 (scritto).
Sessione estiva di recupero : 1° Appello: mercoledì 14.09 ore 15.00 aule Lu3 Lu4 (scritto).
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- Corso di Fondamenti di Analisi Matematica 2
- per studenti in Ingegneria Civile e dell'ambiente e del territorio
- (Anno accademico 2010-11)
- Lezione 1:
Rette e piani in R^3 in forma parametrica o cartesiana. Prodotto vettore: definizione e principali proprietà.
- Lezione 2:
Quadriche: Sfere, Ellissoidi, Iperboloidi.
- Lezione 3:
Quadriche: Paraboloidi ellittici e iperbolici, Cilindri. Curve in R^3 regolari e regolari a tratti.
- Lezione 4:
Curve rettificabili. Rettificabilità di curve di classe C^1. Lunghezza di una curva. Curve in coordinate polari.
- Lezione 5:
Ascissa curvilinea. Versore tangente. Insiemi nel piano e in R^n.
Punti di accumulazione. Punti interni ed esterni. Insiemi aperti e
chiusi.
- Lezione 6:
Successioni di punti del piano e loro limiti. Limiti di funzioni. Restrizione di una funzione.
- Lezione 7:
Funzioni continue in un punto e in un insieme. La composizione di due funzioni continue è continua.
- Lezione 8:
- Lezione 9:
Testi consigliati:
Robert Adams, Calcolo differenziale 2, Funzioni di più variabili, Casa Editrice Ambrosiana, Milano, 2006.
Monica Conti - Davide L. Ferrario - Susanna Terracini - Gianmaria Verzini, Analisi matematica, Vol. 2, Apogeo - Collana: Idee e Strumenti, Milano, 2006.
Enrico Giusti, Analisi matematica vol. 2, Bollati Boringhieri, Torino, 2008.
Ricevimento studenti:
In studio, situato al terzo piano della Torre Archimede corridoio A-D,
il giovedì dalle 15.00 alle 18.00 oppure
su appuntamento
scrivendo a ciatti@dmsa.unipd.it.
Esami:
1a Sessione: 1° Appello: scritto Lun. 14.02 ore 15.00 aule Lu3 Lu4 P1 P2
2° Appello: scritto Lun. 28.02 ore 15.00
aule Lu3 Lu4 P300
Sessione estiva di recupero: 1° Appello: scritto Ven. 08.07 ore 15.00 aule Lu3 Lu4 P300
Sessione estiva di recupero : 1° Appello: scritto Mer. 14.09 ore 15.00 aule Lu3 Lu4
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- Corso di Analisi Matematica 2 per studenti in Ingegneria dell'ambiente e del territorio
- Lezione 1:
Distanza tra due punti del piano. Punti interni. Insiemi aperti e chiusi. Frontiera di un insieme. Insiemi limitati.
Limiti
di funzioni scalari e vettoriali di due variabili. Funzioni continue.
La composizione di due funzioni continue è continua.
- Continuità delle
operazioni aritmetiche.
- Lezione 2:
Derivate parziali. Differenziale. Continuità e derivabilità delle funzioni differenziabili. Unicità del differenziale. Teorema del differenziale totale. Derivate direzionali.
- Lezione 3:
Derivate direzionali e differenziabilità. Gradiente di una funzione. Significato geometrico del gradiente. Piano tangente.
- Lezione 4:
Retta ortogonale al piano tangente. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Differenziabiltà della funzione composta e regola della catena.
- Lezione 5:
Teorema del medio. Insiemi connessi e insiemi convessi. Una funzione con gradiente nullo su un aperto connesso è ivi costante. Derivate successive. Teorema di Taylor.
- Lezione 6:
Massimi e minimi per funzioni di due variabili. Condizioni
necessarie e condizioni sufficienti a garantire l'esistenza di un punto
di estremo.
- Lezione 7:
Condizioni sufficienti a garantire che un punto sia di sella.
- Lezione 8:
Massimi e minimi di funzioni di n variabili.
- Lezione 9:
Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Teorema di esistenza e unicità.
- Lezione 10:
Teorema di esistenza globale. Equazioni a variabili separabili. Studi qualitativi di equazioni differenziali. Equazioni autonome.
- Lezione 11:
Equazioni lineari. Principio di sovrapposizione. Equazioni omogenee e non omogenee. Sistemi fondamentali di soluzioni.
- Lezione 12:
Risoluzione delle equazioni lineari a coefficienti costanti. Metodo della variazione delle costanti di Lagrange.
- Lezione 13:
Teorema della funzione implicita.
- Lezione 14:
Inversione locale di trasformazioni del piano. Coordinate polari cilindriche e coordinate polari sferiche.
- Lezione 15:
Massimi e minimi vincolati. Moltiplicatori di Lagrange.
- Lezione 16:
Rappresentazione parametrica di una curva. Rettificabiltà e lunghezza di curve C^1 nel piano. Funzione lunghezza d'arco. Additività e derivabilità della lunghezza d'arco.
- Lezione 17:
Versore tangente. Confronto tra le rappresentazioni parametriche e cartesiane di una curva.
- Lezione 18:
Curve
regolari a tratti curve semplici e curve chiuse. Regioni del piano
semplici rispetto agli assi coordinati. Area racchiusa da una curva nel
piano.
- Lezione 19:
Funzioni
a scala in un rettangolo e loro integrale. Funzioni integrabili sui
rettangoli. Integrale inferiore e superiore. Calcolo dell'integrale di
una funzione su di un rettangolo con l'iterazione di due integrali
monodimensionali.
- Lezione 20:
Funzioni
uniformemente continue. Le funzioni continue su di un rettangolo chiuso
e limitato cono uniformemente continue. Integrabilità delle funzioni continue. Insiemi di misura zero. Integrabilità di una funzione continua al di fuori di un insieme di misiura zero. Integrale di una funzione su regioni semplici.
- Lezione 21:
Forme differenziali. Forme esatte e forme chiuse. Dimostrazione del Teorema di Schwarz sulle derivate seconde miste.
Le forme esatte sono chiuse. Integrale di una forma differenziale lungo
una curva regolare a tratti. L'integrale non dipende dalla
parametrizzazione della curva.
- Lezione 22:
Formula
di Gauss-Green. Sottoinsiemi del piano semplicemente connessi. Le forme
chiuse sugli insiemi semplicemente connessi sono esatte.
- Lezione 23:
Cambiamento di variabile negli integrali multipli. Jacobiano della trasformazione inversa.
- Lezione 24:
Integrali superficiali. Flusso di un campo vettoriale.
- Lezione 25:
Teorema della divergenza.
- Lezione 26:
Teorema di Stokes.
- Lezione 27:
Calcolo
degli integrali di linea con il Teorema di Stokes. Campi vettoriali
solenoidali. Potenziale vettore di un campo solenoidale.
Testi consigliati:
Franco Conti, Paolo Acquistapace, Anna Savojni, Analisi matematica, McGraw-Hill, Milano, 2001.
Enrico Giusti, Analisi matematica vol. 2, Bollati Boringhieri, Torino, 2008.
Ricevimento studenti:
In studio, situato al terzo piano della Torre Archimede corridoio A-D,
il martedì e il mercoledì dalle 15.00 alle 16.00 oppure
su appuntamento
scrivendo a ciatti@dmsa.unipd.it.
Esami:
1a Sessione: Martedì 26-01-10 ore 09.00, Aule Lu3,
Lu4 e P300 (primo appello); Mercoledì 17-02-09 ore 9.00, Aule Lu3, Lu4 e P300
(secondo appello).
Sessione estiva: Martedì 06-07-09 ore 15.00, Aule Lu3 e Lu4.
Sessione autunnale: Mercoledì 22-09-09 ore 15.00, Aula Lu3 e Lu4. |
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Corso di Analisi Matematica 1 per studenti in Ingegneria dell'ambiente e del territorio
Lezione 1:
Proprietà algebriche dei numeri reali e proprietà
relative all'ordinamento. Radice quadrata e valore assoluto. La radice
quadrata di un numero primo non è un numero razionale. Intervalli
reali.
Lezione 2:
Insiemi limitati superiormente e inferiormente. Maggioranti e
minoranti, massimo e minimo di un insieme. Estremo superiore e
inferiore. Assioma di completezza. Caratterizzazione dell'estremo
superiore.
Proprietà di Archimede e sue conseguenze.
Lezione 3:
Densità dei numeri razionali nei numeri reali. Esistenza della
radice di un numero positivo. Proprietà degli insiemi
incapsulati e chiusi.
Lezione 4: Insiemi
induttivi. Definizione dei numeri naturali. Principio di induzione.
Somma delle prime n potenze di x. Fattoriale. Coefficienti binomiali.
Lezione 5: Regola di
Tartaglia. Formula del
binomio di Newton. Sommatorie. Somme telescopiche. Somma delle potenze
k-esime dei primi n numeri naturali. Somma dei primi n numeri
dispari.
Lezione 6: Successioni
numeriche. Successioni limitate. Successioni crescenti.
Proprietà che valgono definitivamente. Serie a termini positivi.
Somme parziali di una serie. Somma di una serie a termini positivi.
Serie convergenti e serie divergenti.
Lezione 7: Serie
geometrica. Serie di Mengoli. Criterio del confronto per serie a
termini positivi. Serie armonica. Serie esponenziale. La costante di
Nepero e. Stime dal basso e dall'alto della costante di Nepero.
Lezione 8: Stima
dell'errore nella valutazione della costante di Nepero. La costante di
Nepero è un numero irrazionale. Criterio del rapporto. Criterio della
radice. Il termine generale di una serie convergente è infinitesimo.
Lezione 9: Serie a
termini di segno variabile. Definizione di convergenza di una serie a
termini di segno variabile. Serie a segni alterni. Criterio di
convergenza di Leibniz. Stima dell'errore per una serie a segni
alterni.
Lezione 10: Somma di
due serie convergenti e prodotto di una serie convergente per uno
scalare. Serie assolutamente convergenti. Ogni serie assolutamente
convergente è convergente. Serie convergenti in senso
condizionato. Parte positiva e parte negativa di un numero. Una
serie è assolutamente convergente se e solo se la serie dei
suoi termini positivi e quella dei suoi termini negativi convergono. Se
una serie converge in senso condizionato la serie dei suoi termini
positivi e quella dei suoi termini negativi sono divergenti.
Riordinamento di una serie. Tutti i riordinamenti di una serie assolutamente convergente convergono alla somma della serie data.
Lezione 11: Limite di
una successione. Limite della radice ennesima di un numero positivo
fissato. Limite della radice ennesima di n. Le successioni convergenti
sono limitate. Limite di una successione monotona. Teorema del
confronto. Teorema della permanenza del segno. Teoremi sull'aritmetica
dei limiti.
Lezione 12:
Definizione di successione di Cauchy. Ogni successione convergente
è una successione di Cauchy. Ogni successione di Cauchy è
convergente (senza dimostrazione). Se a_m < b_n per ogni coppia di
interi positivi m e n e la successione {b_n - a_n} è
infinitesima, allora {a_n} e {b_n} convergono allo stesso limite. La
successione {(1 + 1/n)^n} è crescente e ha limite uguale alla
costante di Nepero.
Lezione 13: Serie asintoticamente equivalenti. Serie armonica generalizzata. Limiti di successioni: forme indeterminate.
Lezione 14: Serie di
potenze. Raggio di convergenza di una serie. Calcolo del raggio di
convergenza. Definizione di funzione analitica. La serie esponenziale
E(x).
Lezione 15: Prodotto
di Cauchy di due serie. Il prodotto di Cauchy di due serie
assolutamente convergenti è assolutamente convergente (senza
dimostrazione). Il prodotto di due serie convergenti non è
necessariamente convergente con controesempio. La serie
esponenziale è moltiplicativa: E(x + y) = E(x) E(y). Per
ogni numero razionale r si ha E(r) =
e^r. Definizione della funzione esponenziale:
e^x = E(x). La funzione esponenziale è crescente e strettamente positiva.
Lezione 16:
Definizione di funzione continua. Continuità delle potenze di x.
La somma di due funzioni continue è continua. Continuità
dei polinomi. Funzioni lipschitziane. Continuità delle funzioni
lipschitziane. Le funzioni analitiche sono lipschitziane.
Continuità della funzione radice. La funzione radice non
è lipschitziana su [0, 1], ma lo è su ogni
intervallo [a, b] con a > 0.
Lezione 17:
Punti di accumulazione di insiemi di numeri reali. Limiti di funzioni.
Una funzione f(x) ha limite L in y se e solo se per ogni successione
{x_n} convergente a y la successione {f(x_n)} ha limite L. Proprietà
dei limiti di funzioni. Aritmetica dei limiti. Limiti all'infinito
della funzione esponenziale e del prodotto o il rapporto tra la
funzione esponenziale e un polinomio.
Lezione 18:
Teorema di Weierstrass. Teorema sull'esistenza degli zeri per le
funzioni continue. Teorema dei valori intermedi per le funzioni
continue. Immagine della funzione esponenziale.
Lezione 19:
Definizione e grafico della funzione logaritmo naturale di x.
Proprietà della funzione logaritmo, log(xy) = log x + log y.
Limiti a + e - infinito di log x. Continuità della funzione
logaritmo. Limite di log(1 + x)/x per x che tende a 0.
Lezione 20: Cambio di
variabile nei limiti. Limiti del prodotto di un polinomio per log x.
Rapporto incrementale. Definizione di derivata. Retta tangente.
Approssimazione di funzioni derivabili con funzioni affini.
Lezione 21:
Regole di derivazione. Derivata di una potenza di x. Derivate di
log x e derivata di e^x. Derivata della somma e del prodotto di due
funzioni. Derivata di 1/f(x).
Lezione 22: Derivata
della funzione composta. Definizione di punti di massimo e minimo
locale. Se f(x) in un punto di massimo o minimo x_0 è
derivabile, allora f'(x_0) = 0. Teoremi di Rolle e di Lagrange. Una
funzione con derivata nulla su di un intervallo è ivi costante.
Relazioni tra la monotonia della funzione e il segno della sua derivata.
Lezione 23:
Ricerca dei massimi e minimi locali di una funzione.
Lezione 24:
Una funzione con derivata limitata su un intervallo è
lipschitziana. Teorema di derivazione per le serie di potenze. Serie di
potenze di log(1 + x).
Lezione 25: Funzioni circolari: definizione e derivate. Serie di potenze di cos x e sen x. Ordine di infinitesimo.
Lezione 26: Derivate
successive. Funzioni di classe C^k. Formula di Taylor di ordine due.
Condizioni sufficienti e condizioni necessarie per i punti di estremo
delle funzioni di classe C^2. Derivate laterali. Funzioni convesse.
Le funzioni convesse sono continue e ammettono derivate laterali.
Lezione 27: Una
funzione di classe C^1 è convessa se e solo se la sua derivata
è crescente. Una funzione di classe C^2 la cui derivata seconda
è non negativa è convessa. Asintoti orizzontali,
verticali e obliqui. Studio del grafico di una funzione.
Lezione 28: Teorema di
Taylor con il resto di Peano. Teorema di Taylor con resto di Lagrange.
Una condizione sufficiente per la sviluppabilità in serie di
Taylor. Sviluppo di McLaurin di (1 + x)^a.
Lezione 29:
Teorema di de l'Hopital. Calcolo di limiti adoperando gli sviluppi di Taylor e il Teorema di de l'Hopital.
Lezione 30: Derivata della funzione inversa. Funzioni arcsen x, arccos x, arctg x: definizione, principali proprietà e derivate.
Lezione 31:
Definizione di primitiva di una funzione su di un intervallo. Integrale
indefinito. Linearità dell'integrale. Integrazione per parti.
Integrazione per sostituzione.
Lezione 32: Primitive di funzioni razionali con denominatore di grado due.
Lezione 33: Calcolo
dell'area di un segmento parabolico con il metodo di esaustione di
Archimede. Somme superiori e inferiori per una funzione limitata su di
un intervallo limitato e loro proprietà. Ingrale superiore e
integrale inferiore. L'integrale superiore di f è maggiore o
uguale dell'integrale inferiore di f. Funzioni integrabili e
definizione di integrale. La funzione di Dirichlet non è
integrabile.
Lezione 34: Integrabilità delle funzioni monotone e delle funzioni lipschitziane.
Lezione 35:
Proprietà dell'integrale: linearità, additività,
monotonia e disuguaglianza triangolare. Funzione integrale.
Continuità della funzione integrale. Teorema fondamentale del
calcolo.
Testi consigliati:
Franco Conti, Paolo Acquistapace, Anna Savojni,
Analisi matematica, McGraw-Hill, Milano, 2001.
Enrico Giusti,
Analisi matematica vol. 1, Bollati Boringhieri, Torino, 2008.
Andrea Bacciotti, Fulvio Ricci,
Analisi matematica 1, Liguori, Napoli, 1995.
Paolo Acquistapace,
Appunti di Analisi Matematica rintracciabili sul sito:
http://it.geocities.com/povigna/matematica/dispense.htm
Per gli esercizi si consiglia di consultare il sito:
http://didattica-online.polito.it
Ricevimento studenti:
In studio, situato al terzo piano della Torre Archimede corridoio A-D, su appuntamento
scrivendo a ciatti@dmsa.unipd.it.
Esami:
1a Sessione: Giovedì 29-01-09 ore 15.00, Aule Lu3 e
Lu4 (primo appello); Martedì 10-02-09 ore 9.00, Aule Lu4 e P300
(secondo appello).
Sessione estiva: Mercoledì 08-07-09 ore 15.00, Aule Lu3 e Lu4.
Sessione autunnale: Giovedì 24-09-09 ore 15.00, Aula P300. |
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